domingo, 10 de julio de 2011
AREAS DE LOS POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS
CUERPOS O SOLIDOS
1. CONCEPTO:
Un cuerpo o sólido se define como una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.
2. POLIEDROS
Si todas las superficies que limitan una figura geométrica son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro
Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares.
Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.
Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.
Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro
4 caras (triángulos equiláteros) 6 caras (cuadrados) 8 caras (triángulos equiláteros) 12 caras (pentágonos regulares) 20 caras (triángulos equiláteros)
N° de caras 4 6 8 12 20
N° de vértices 4 8 6 20 12
N° de aristas 6 12 12 30 30
N° de lados de cada cara 3 4 3 5 3
N° aristas concurrentes en un vértice 3 3 4 3 5
3. CUERPOS REDONDOS
Los cuerpos redondos son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas.
Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.
3.1. CONO
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
En el dibujo, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.
3.2. CILINDRO
El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Elementos
Por medio del dibujo de la derecha, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son:
o Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
o Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
o Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
o Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
3.3. ESFERA
La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Elementos
Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:
• Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
• Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.
• Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
• Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.
La esfera tiene una sola cara curva.
Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.
1. CONCEPTO:
Un cuerpo o sólido se define como una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies.
2. POLIEDROS
Si todas las superficies que limitan una figura geométrica son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro
Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares.
Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.
Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.
Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro
4 caras (triángulos equiláteros) 6 caras (cuadrados) 8 caras (triángulos equiláteros) 12 caras (pentágonos regulares) 20 caras (triángulos equiláteros)
N° de caras 4 6 8 12 20
N° de vértices 4 8 6 20 12
N° de aristas 6 12 12 30 30
N° de lados de cada cara 3 4 3 5 3
N° aristas concurrentes en un vértice 3 3 4 3 5
Los cuerpos redondos son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas.
Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.
3.1. CONO
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
En el dibujo, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.
3.2. CILINDRO
El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Elementos
Por medio del dibujo de la derecha, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son:
o Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
o Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
o Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
o Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
3.3. ESFERA
La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Elementos
Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:
• Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
• Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O.
• Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
• Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.
La esfera tiene una sola cara curva.
Todos los puntos que forman la superficie esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la semicircunferencia que gira.
domingo, 3 de julio de 2011
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